Question

已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．

Answer 1

分析：本题从正面无从下手，故应采用反证法，假设a+b＞2，由于a³+b³=2，必有一数小于或等于1，设b≤1，则a＞2b，可得到a³＞（2-b）³，再把a³+b³=2代入可得（b-1）²＜0，故假设不成立，原结论正确．

解答：证明：设这两个正数为a，b．则原题成为已知a³+b³=2，求证a+b≤2，（反证法）
若a+b＞2，由于a³+b³=2，必有一数小于或等于1，
设b≤1，则a＞2b，因为这个不等式两边均为正数，所以a³＞（2-b）³，
a³＞8-12b+6b²-b³，即a³+b³＞8-12b+6b²，
故6b²-12b+6＜0，即b²-2b+1＜0，
即（b-1）²＜0不成立，
所以a+b≤2．
即本题的结论是正确的．

点评：本题考查的是质数与合数、不等式的基本性质、完全平方数，涉及面较广，有一定的难度．