Question

6．如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②∠DFB=∠EFC；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF=CF．
其中正确的是①③．（填序号，错选、漏选不得分）

Answer 1

分析 由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．

解答 解：①∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴①正确；
②∵△ABC不是等腰三角形，
∴②∠DFB=∠EFC，是错误的；
③∵△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．
∴③正确，共2个正确的；
④∵△ABC不是等腰三角形，
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠FBC≠∠FCB，
∴BF=CF是错误的；
故答案为：①③．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及平行线的性质；解题时需要运用两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．