Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线经过A（-1，0），C（0，-5）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
（3）在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作⊙Q，使得⊙Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q？若存在，请直接写出最大⊙Q的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴及A点坐标得出B点坐标，从而得出直线BC解析式，再由A、B、C三点坐标得出抛物线解析式；
（2）分别过B、C两点作BC的垂线，得出垂线的解析式，与抛物线解析式联立解出P点；
（3）平移BC到与抛物线刚好相切之处，此时的切点即为Q点，此时Q点距BC的距离最大，也就是半径最大．由于初中阶估没学点到直线的距离公式，那么这里可以用等面积法进行处理．设切线与y轴的交点为H，则△HBC与△QBC的面积相等，算出面积，再以BC为底，算出BC边上的高即为答案．

解答 解：（1）∵对称轴为x=2，且抛物线经过A（-1，0），
∴B（5，0）．
把B（5，0），C（0，-5）分别代入y=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=0}\\{n=-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-5．
设y=a（x-5）（x+1），把点C的坐标代入得：-5a=-5，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x-5．
（2）①过点C作CP₁⊥BC，交抛物线于点P₁，如图，

则直线CP1的解析式为y=-x-5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-5}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-5}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-8}\end{array}\right.$，
∴P₁（3，-8）；
②过点B作BP₂⊥BC，交抛物线于P₂，如图，

则BP₂的解析式为y=-x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=7}\end{array}\right.$，
∴P₂（-2，7）；
（3）由题意可知，Q点距离BC最远时，半径最大．平移直线BC，使其与抛物线只有一个公共点Q（即相切），设平移后的直线解析式为y=x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$，消去y整理得x²-5x-5-t=0，
△=25+4（5+t）=0，解得t=-$\frac{45}{4}$，
∴平移后与抛物线相切时的直线解析式为y=x-$\frac{45}{4}$，且Q（$\frac{5}{2}$，-$\frac{35}{4}$），
连接QC、QB，作QE⊥BC于E，如图，

设直线y=x-$\frac{45}{4}$与y轴的交点为H，连接HB，
则${S}_{△HBC}=\frac{1}{2}BO•CH$，
∵CH=-5-（-$\frac{45}{4}$）=$\frac{25}{4}$，
∴${S}_{△HBC}=\frac{1}{2}×5×\frac{25}{4}$=$\frac{125}{8}$，
∴${S}_{△QBC}={S}_{△HBC}=\frac{125}{8}$，
∵${S}_{△QBC}=\frac{1}{2}BC•QE$，BC=$5\sqrt{2}$，
∴QE=$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，
即最大半径为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，待定系数法求直线和抛物线解析式，相互垂直的两直线的性质，解一元二次方程，等面积法求距离等重要知识点和方法，综合性强，难度较大．对于最后一问，清楚什么时候半径最大以及会用等面积法求距离是解答的关键．