Question

【题目】如图，已知∠MON＝90°，点A在射线OM上运动，点B在射线ON上运动，OA＞OB，点P在∠MON的平分线上，PA＝PB．

（1）∠APB的大小是否发生变化？请说明理由；

（2）连接AB，点E是AB的中点，点F是OP的中点，求证：EF⊥OP．

Answer 1

【答案】（1）∠APB的大小不会变化，理由见解析；（2）见解析

【解析】

（1）过点P作PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，由角平分线的性质可得PC＝PD，由“HL”可证Rt△ACP≌Rt△BDP，可得∠APC＝∠BPD，可求∠APB＝90°；

（2）由直角三角形的性质可得OE＝PE＝AB，由等腰三角形的性质可得EF⊥OP．

解：（1）∠APB的大小不会变化，

理由如下：如图，过点P作PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，连接OE，PE，EF，

∵PC⊥AO，PD⊥OB，∠MON＝90°，

∴四边形CPDO是矩形，

∴∠CPD＝90°，

∵点P在∠MON的平分线上，PC⊥AO，PD⊥OB，

∴PC＝PD，且PA＝PB，

∴Rt△ACP≌Rt△BDP（HL）

∴∠APC＝∠BPD，

∵∠BPC+∠BPD＝90°，

∴∠BPC+∠APC＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴∠APB的大小不会变化．

（2）∵点E是AB的中点，∠AOB＝∠APB＝90°，

∴OE＝AB，PE＝AB，

∴OE＝PE，且点F是OP的中点，

∴EF⊥OP