Question

【题目】如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧的中点．

（1）试判断四边形OACB的形状，并说明理由；

（2）延长OA至P，使得AP=OA，连接PC，若PC为，求BC长．

Answer 1

【答案】（1）四边形OACB是菱形，见解析；（2）3

【解析】

（1）首先连接OC，由A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧的中点，易证得△AOC与△BOC都是等边三角形，则可得AC=OA=OC=OB=BC，继而证得四边形OACB是菱形．
（2）由AP=OA，易证得△OPC是直角三角形，然后利用勾股定理求得答案．

解：（1）四边形OACB是菱形．

理由：连接OC，

∵∠AOB=120°，C是劣弧的中点，

∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，

∵OA=OC=OB，

∴△AOC与△BOC都是等边三角形，

∴AC=OA=OC=OB=BC，

∴四边形OACB是菱形．

（2）∵AP=OA，AC=OA，

∴AP=AC，

∴∠P=∠ACP=∠OAC=30°，

∴∠OCP=90°，

设圆O的半径为x，则OC=x，OP=2x

∴，

∴x=3

∵四边形OACB是菱形．

∴BC=3