等腰Rt△ACB.∠ACB=90°.AC=BC.点A.C分别在x轴.y轴的正半轴上．(1)如图1.求证:∠BCO=∠CAO(2)如图2.若OA=5.OC=2.求B点的坐标.Q.A两点均在x轴上.且S△CQA=18．分别以AC.CQ为腰在第一.第二象限作等腰Rt△CAN.等腰Rt△QCM.连接MN交y轴于P点.OP的长度是否发生改变?若不变.求出OP的值,若变化.求OP的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO
（2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S_△CQA=18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

分析（1）根据同角的余角相等得出结论即可；
（2）先过点B作BD⊥y轴于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD=CO=2，CD=AO=5，进而得出OD=5-2=3，即可得到B点的坐标；
（3）先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH=AQ，HN=QC，然后根据点C（0，3），S_△CQA=18，求得AQ=12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP=PH=$\frac{1}{2}$CH=6，即可求得CP=3+6=9（定值）．

解答解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠AOC=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°=∠CAO+∠ACO，
∴∠BCO=∠CAO；

（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB=∠AOC=90°，
在△CDB和△AOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠AOC}\\{∠BCO=∠CAO}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△AOC（AAS），
∴BD=CO=2，CD=AO=5，
∴OD=5-2=3，
又∵点B在第三象限，
∴B（-2，-3）；

（3）OP的长度不会发生改变．
理由：如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则
∠CNH+∠MCN=180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN=180°，
∴∠ACQ+∠MCN=360°-180°=180°，
∴∠CNH=∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN=∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CNH=∠ACQ}\\{CN=AC}\\{∠HCN=∠QAC}\end{array}\right.$，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH=AQ，HN=QC，
∵QC=MC，
∴HN=CM，
∵点C（0，3），S_△CQA=18，
∴$\frac{1}{2}$×AQ×CO=18，即$\frac{1}{2}$×AQ×3=18，
∴AQ=12，
∴CH=12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH=∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HPN=∠CPM}\\{∠PNH=∠PMC}\\{HN=CM}\end{array}\right.$，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP=PH=$\frac{1}{2}$CH=6，
又∵CO=3，
∴CP=3+6=9（定值），
即OP的长度始终是9．

点评本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．

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A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

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