Question

【题目】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．

Answer 1

【答案】127；3n2+3n+1（n∈N+）
【解析】方法一：
解：∵n=1时，总数是6+1=7；
n=2时，总数为6×（1+2）+1=19；
n=3时，总数为6×（1+2+3）+1=37枚；
…；
∴n=6时，总数为6×（1+2+3…+6）+1=127枚；
…；
∴n=n时，有6×（1+2+3+…n）+1=6× +1=3n2+3n+1枚．
故答案为：127，3n2+3n+1（n∈N+）．
方法二：
n=1，s=7；n=2，s=19；n=3，s=37，
经观察．此数列为二阶等差（即后项减前项，两次作差，差相等）
设：s=an2+bn+c，
∴ ，
∴ ，
∴s=3n2+3n+1，把n=6代入，s=127．
方法三：
， ， ， ， ，
∴a6=37+24+30+36=127．
根据题意总结规律当n=n时，有3n2+3n+1枚.