Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．

（1）写出A、C两点的坐标；
（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；
（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直线解析式y=2x+2中，当y=0时，x=﹣1；当x=0时，

y=2，

∴A（﹣1，0），C（0，2）

（2）

解：当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示．

∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线，

∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），

∴P（0，2m﹣2）；

直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x= ，∴D（ ，m），

设直线DP的解析式为y=kx+b，则有

，解得：k=﹣2，b=2m﹣2，

∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2．

令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）．

已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，

∴ ，即 ，

整理得：（m﹣1）2= ，解得：m= （ ＞1，不合题意，舍去）或m= ，

∴m=

（3）

解：当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CDAQ=PQDE．

依题意画出图形，如答图2所示．

由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，

由勾股定理得：PQ= （m﹣1）；

∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），

∴AQ=m，AB=a+1；

∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA= ．

∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB，

∴ ；

又∵CDAQ=PQDE，∴ ，

∴ ，即 ，

解得：m= ．

∵1＜m＜2，

∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m= ．

∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m= ，使CDAQ=PQDE；若0＜a≤1，则m不存在．

【解析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；（2）如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解；（3）如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为： ，据此列方程求出m的值．
【考点精析】通过灵活运用一次函数的性质和一次函数的图象和性质，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远即可以解答此题．