Question

矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、c两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=-x与BC边相交于D点．
（1）若抛物线y=ax²-x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上取一点E，求出EA+ED的最小值；
（3）设（1）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P，O，M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-x经过点A（6，0），
∴将x=6，y=0代入得：0=36a-×6，即a=，
则抛物线解析式为y=x²-x；

（2）直线y=-x与BC边相交于点D，
将y=-3代入得：x=4，即D（4，-3），
∵点O与点A关于对称轴对称，且点E在对称轴上，
∴EA=EO，
∴EA+ED=ED+EO，
则最小值为AD长为OD==5，
则EA+ED的最小值为5；

（3）抛物线的对称轴与x轴的交点P₁符合条件，
∵OA∥CB，∴∠P₁OM=∠CDO，
∵∠OP₁M=∠DCO=90°，
∴Rt△P₁OM∽Rt△CDO，
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴P₁坐标为（3，0），
过O作OD的垂线，交抛物线的对称轴于点P₂，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P₂MO=∠DOC，
∵∠P₂OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂MO∽Rt△DOC，
∴P₂也符合条件，∠OP₂M=∠ODC，
∴P₁O=CO=3，∠P₂P₁O=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO，
∴P₁P₂=CD=4，
∵点P₂在第一象限，
∴点P₂的坐标为（3，4），
∴符合条件的点P有两个，分别为P₁（3，0），P₂（3，4）．
分析：（1）由抛物线图象经过A点，将A坐标代入抛物线解析式求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由抛物线与x轴的交点A与O关于对称轴对称，则OD与对称轴的交点即为EA+ED取最小值时E的位置，此时EA+ED的最小值为OD的长，由D的坐标即可求出OD的长；
（3）抛物线对称轴与x轴的交点符号题意，理由为：由BC与AO平行，利用两直线平行内错角相等的一对角相等，再由一对直角相等可得出三角形OP₁M与三角形OCD相似，求出此时P₁的坐标；过O作OD的垂线，交抛物线的对称轴于点P₂，此时由抛物线对称轴与y轴平行，得到一对内错角相等，再由一对直角相等得到三角形P₂MO与三角形DOC相似，由相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且OP₁=OC=3，利用AAS得到三角形P₁P₂O与三角形OCD全等，由全等三角形对应边相等得到P₁P₂=CD=4，再由P2属于第一象限，即可求出此时P₂的坐标，综上，得到满足题意的P的坐标．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，对称的性质，待定系数法确定二次函数解析式，最后一问注意P点坐标要找全．