Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG． (1)求证：EG＝CG． (2)将图(1)中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图(2)所示，取DF的中点G，连接EG，CG．问：(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)将图(1)中△BEF绕B点旋转任意角度，如图(3)所示，取DF的中点G，连接EG，CG．问：(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：在Rt△FCD中， 　　∵G为斜边DF的中点， 　　∴． 　　在Rt△DEF中， 　　∵G为斜边DF的中点， 　　∴． 　　∴CG＝EG． 　　(2)解：(1)中结论仍然成立，即EG＝CG． 　　连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 　　在△DAG与△DCG中， 　　∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，DG＝DG， 　　∴△DAG≌DCG． 　　∴AG＝CG． 　　在△DMG与△FNG中， 　　∵∠DGM＝∠FCN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG＝45°， 　　∴△DMG≌△FNG．∴MG＝NG． 　　在矩形AENM中，AM＝EN． 　　在Rt△AMG与Rt△ENG中， 　　∵AM＝EN，MG＝NG， 　　∴△AMG≌△ENG． 　　∴AG＝EG． 　　∴EG＝CG． 　　(3)解：(1)中的结论仍然成立， 　　即EG＝CG．其他的结论还有：EG⊥CG．