Question

【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求证：△MED∽△BCA；

（2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=S1时，求cos∠ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=.

【解析】

（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；

（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；

（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以，所以S△MCB=S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，由于，从而可知，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

（1）∵MD∥BC，

∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED∽△BCA；

（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，

∴MB=MC=AM，

∴∠MCB=∠MBC，

∵∠DMB=∠MBC，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，

∵∠AMD=180°﹣∠DMB，

∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC，

∴∠AMD=∠CMD，

在△AMD与△CMD中，

，

∴△AMD≌△CMD（SAS）；

（3）∵MD=CM，

∴AM=MC=MD=MB，

∴MD=2AB，

由（1）可知：△MED∽△BCA，

∴，

∴S△ACB=4S1，

∵CM是△ACB的中线，

∴S△MCB=S△ACB=2S1，

∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，

∵，

∴，

∴，

设ME=5x，EB=2x，

∴MB=7x，

∴AB=2MB=14x，

∵，

∴BC=10x，

∴cos∠ABC=.