Question

2．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AB=6，AC=2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求四边形ACBD的面积；
（2）求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）由S_{四边形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD，即可求得答案；
（2）作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，先根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=∠ADB=90°，易判断△ABD为等腰直角三角形，则OD⊥AB，再证明Rt△ACH∽Rt△ABC，利用相似比计算出AH=$\frac{2}{3}$，则OH=OA-AH=$\frac{7}{3}$，于是在Rt△ACH中利用勾股定理可计算出CH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，然后证明△CHE∽△DOE，利用相似比可得到HE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$OE，CE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$DE，则利用HE+OE=$\frac{7}{3}$可计算出OE=$\frac{27-12\sqrt{2}}{7}$，接着在Rt△ODE中，根据勾股定理计算出DE=$\frac{36-9\sqrt{2}}{7}$，则CE=$\frac{16\sqrt{2}-8}{7}$，最后计算DE与CE的和即可．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$；
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD；
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD；
∴在Rt△ABD中，AD=BD=3$\sqrt{2}$，AB=6，
∴四边形ADBC的面积=S_△ABC+S_△ABD
=$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$AD•BD
=$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$
=9+4$\sqrt{2}$．
故四边形ADBC的面积是9+4 $\sqrt{2}$；

（2）作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，
∵∠CAH=∠BAC，
∴Rt△ACH∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AH：AC，即2：6=AH：2，解得AH=$\frac{2}{3}$，
∴OH=OA-AH=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$．
在Rt△ACH中，CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{\;}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵CH∥OD，
∴△CHE∽△DOE，
∴$\frac{HE}{OE}$=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{CH}{OD}$，即$\frac{HE}{OE}$=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
即HE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$OE，CE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$DE，
而HE+OE=$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{4\sqrt{2}}{9}$OE+OE=$\frac{7}{3}$，解得OE=$\frac{27-12\sqrt{2}}{7}$．
在Rt△ODE中，DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{36-9\sqrt{2}}{7}$，
∴CE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$•$\frac{36-9\sqrt{2}}{7}$=$\frac{16\sqrt{2}-8}{7}$，
∴CD=DE+CE=4+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质．