Question

6．如图，已知关于x的二次函数y=x²+mx的图象经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x=1．
（1）常数m=-2，点A的坐标为（2，0）；
（2）若关于x的一元二次方程x²+mx=n（n为常数）有两个不相等的实数根，求n的取值范围；
（3）若关于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k为常数）在-2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴为直线x=1，求出m的值，得到解析式，求出点A的坐标；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出n的取值范围；
（3）根据判别式和方程在-2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．

解答 解：（1）∵对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{m}{2}$=1，m=-2，
则二次函数解析式为y=x²-2x，
x²-2x=0，x=0或2，
∴点A的坐标为 （2，0），
∴常数m=-2，点A的坐标为 （2，0）；        
（2）∵一元二次方程x²-2x=n有两个不相等的实数根，
∴△=4+4n＞0，
n＞-1                                          
（3）一元二次方程x²-2x-k=0有解，
则△=4+4k≥0，
k≥-1，
方程的解为：x=1±$\sqrt{1+k}$，
∵方程在-2＜x＜3的范围内有解，
1-$\sqrt{1+k}$＞-2，k＜8，
1+$\sqrt{1+k}$＜3，k＜3，
∴-1≤k＜8．

点评 本题考查的是待定系数法求解析式和抛物线与x轴的交点问题，把二次函数和一元二次方程有机结合起来是解题的关键，在求k的取值范围时，不要忘记判别式的应用．