已知:如图,内接于
,
为直径,弦
于
,
是
的中点,连结
并延长交
的延长线于点
,连结
,分别交
、
于点
、
.
(1)求证:是
的外心; (2)若
,求
的长;
(3)求证:.
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(1)证明:∵C是的中点,∴
,
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中,PC=PQ,
∵CE⊥直径AB,∴
∴
∴∠CAD=∠ACE。
∴在△APC中,有PA=PC,
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心。
(2)解:∵CE⊥直径AB于F,
∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=,CF=8,
得。
∴由勾股定理,得
∵AB是⊙O的直径,
∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=,
得。
易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴
∴。
(3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G;
∴Rt△AFP∽Rt△GFB,
∴,即
易知Rt△ACF∽Rt△CBF,
∴(或由摄影定理得)
∴
由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴。
科目:初中数学 来源: 题型:
3 |
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3 |
![]() |
AC |
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科目:初中数学 来源: 题型:
BG-AB |
AC |
A、①②③ | B、①②④ |
C、①③④ | D、①②③④ |
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