Question

11．已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$，b=$\frac{1}{2-\sqrt{5}}$，求a²+b²+7的算术平方根．

Answer 1

分析 先分母有理化求出a、b的值，求出a+b和ab的值，再求出a²+b²+7的值，最后求出答案即可．

解答 解：a=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-2）}{（2+\sqrt{5}）×（\sqrt{5}-2）}$=$\sqrt{5}$-2，
同理b=$\frac{1}{2-\sqrt{5}}$=-2-$\sqrt{5}$，
∴a+b=-4，ab=4-5=-1，
∴a²+b²+7=（a+b）²-2ab+7=（-4）²-2×（-1）+7=25，
∴a²+b²+7的算术平方根是5．

点评 本题考查了整式的混合运算和求值，分母有理化，算式平方根的应用，能正确求出a²+b²+7的值是解此题的关键．