Question

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（6，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）点M是直线BC上方抛物线上的一动点，过点M作MD∥y轴交线段BC于点D，过点M作ME⊥BC于点E，点F（0，a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（0，a）为y轴上两点，连按MF、GB、BM，当△MDE的周长最大时，求点M的坐标和此时四边形MFGB周长的最小值；
（3）如图2，在y轴的负半轴上取点H，使得CH=CB，点P是x轴上一动点，连接CP、HP，将△CPH沿CP折叠至△CPH′，连接HH′，HB、BH′，当△HBH′为等腰三角形时，求点P的坐标．
．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决即可．
（2）如图1中，延长MD交c轴于H．首先证明△DEM是含有30度角的特殊直角三角形，DM最大时，△DME的周长最大，构建二次函数求出点M的坐标，将点B向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$个单位得到点P（6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），作点P关于y轴的对称点P′（-6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），连接P′M交y轴于F，此时四边形BGFM的周长最小．
（3）分四种情形讨论①如图3中，当HH′=BH′时，②如图4中，当PH=PH′时，③如图5中，当HB=HH′时，④如图6中，当HH′=BH′时，分别求出OP的长即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（6，0），
∴抛物线的解析式为抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x+2）（x-6）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$．
∴C（0，2$\sqrt{3}$），
设直线BC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$．

（2）如图1中，延长MD交c轴于H．

∵tan∠CBO=$\frac{CO}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBO=30°，
∵MH⊥OB，
∴∠BHD=90°，
∴∠BDH=∠EDM=60°，
∵ME⊥BC，
∴∠EMD=30°，
∴当DM的值最大时，△EMD的周长最大，设M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$）则D（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+2$\sqrt{3}$），
∴MD=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\sqrt{3}$m=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m-3）²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜0，
∴m=3时，MD有最大值，此时点M（3，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
如图2中，∵点F（0，a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（0，a），∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
将点B向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$个单位得到点P（6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），作点P关于y轴的对称点P′（-6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），连接P′M交y轴于F，此时四边形BGFM的周长最小．

∵直线P′M的解析式为y=$\frac{2}{9}$$\sqrt{3}$x+$\frac{11}{6}$$\sqrt{3}$，
∴F（0，$\frac{11}{6}$$\sqrt{3}$），
∴四边形BGFM的周长最小值=BG+FG+FM+BM=PF+FG+FM+BM=P′F+FM+FG+BM=P′M+FG+BM=$\sqrt{93}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{111}}{2}$．

（3）①如图3中，当HH′=BH′时，

易知∠HCH′=∠H′CB=30°，
∴∠PCO=∠PCH′=15°，在OC上取一点M，使得CM=PM，则∠PMO=30°，设OP=x，则PM=CM=2x，OM=$\sqrt{3}$x，
则有2x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴x=4$\sqrt{3}$-6，
∴P（4$\sqrt{3}$-6，0）．

②如图4中，当PH=PH′时，易知点P与点B重合，此时P（6，0）．


③如图5中，当HB=HH′时，易知点H′在x轴上．

易知∠PCO=30°，OP=OC•tan30°=2，此时P（-2，0）．

④如图6中，当HH′=BH′时，

易知∠CHH′=∠CH′H=15°，
∵PH′=PH，CH′=CH，
∴PC⊥HH′于K，
∴∠CPO+∠PCO=90°，∵∠HCK=75°，
∴∠CPO=15°，
在OP上取一点Q，使得PQ=CQ，则∠CQO=30°，PQ=CQ=2OC=4$\sqrt{3}$，OQ=$\sqrt{3}$CO=6，
∴OP=4$\sqrt{3}$+6，
∴P（-4$\sqrt{3}$-6，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（4$\sqrt{3}$-6，0）或（6，0）或（-2，0）或（-4$\sqrt{3}$-6，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、最值问题、轴对称最短问题、一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用对称解决最短问题，本题体现了分类讨论的数学思想，属于中考压轴题．