Question

4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转45°，得到正方形AB′C′D′，正方形ABCD与正方形AB′C′D′叠成一个“风筝”ABCC′D′，那么“风筝”的面积是（　　）

• A． 2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 3-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 用两个正方形面积和减去重叠部分面积即可，重叠部分可看作两个直角三角形，观察两个直角三角形的特点，再求面积．

解答 解解：设CD，B′C′相交于点E，DE=x，则∠EAD=22.5°，AM=$\frac{x}{sin22.5°}$，
∵x²+1=（$\frac{x}{sin22.5°}$）²，
∴x=$\sqrt{2}$-1，
∴重叠部分的面积S_ADMB′=（$\sqrt{2}$-1）×1=$\sqrt{2}$-1，
∴“风筝”ABCC′D′的面积=2S_ABCD-重叠部分的面积S_ADMB=2-（$\sqrt{2}$-1）=3-$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．