Question

6．已知方程x²+x-7=0的两个根分别为x₁、x₂，求下列代数式的值：
（1）（x₁+2）（x₂+2）
（2）$\frac{x_1}{x_2}$+$\frac{x_2}{x_1}$．

Answer 1

分析 根据x₁、x₂是方程x²+x-7=0的两个实数根，求出x₁+x₂，x_1•x₂的值．
（1）将所求的代数式利用多项式乘法进行变形，然后代入即可求出答案；
（2）利用分式的加法和完全平方公式对所求的代数式进行变形，然后代入求值．

解答 解：∵x₁、x₂是方程x²+x-7=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-1，x_1•x₂=-7．
（1）（x₁+2）（x₂+2）=x_1•x₂+2（x₁+x₂）=-7+2×（-1）=-9；

（2）$\frac{x_1}{x_2}$+$\frac{x_2}{x_1}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（-1）^{2}-2×（-7）}{-7}$=-$\frac{15}{7}$．

点评 此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．