Question

如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延长线上一点，BE=

10

3

．
（1）求

OD

OE

；
（2）证明：直线DE是半圆O的切线．

Answer 1

分析：（1）连接OD，作OF⊥CD于点F，根据CD=6利用垂径定理可得DF，再利用OB+BE即可求出OE．然后即可求出

OD

OE

的值；
（2）由（1）知

DF

OD

=

OD

OE

，利用CD∥AB，求证△DOF∽△OED，可得∠ODE=∠OFD=90°，即可证明直线DE与半圆O相切．

解答：（1）解：连接OD，作OF⊥CD于点F．
∵CD=6，∴DF=

1

2

CD=3．
∵OE=OB+BE=5+

10

3

=

25

3

．
∴

OD

OE

=

5

25 3

=

3

5

；
答；

OD

OE

的值为

3

5

；

（2）证明：∵

DF

OD

=

3

5

，
∴由（1）知

DF

OD

=

OD

OE

，
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．
∴△DOF∽△OED，
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与半圆O相切．

点评：此题主要考查切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解答此题的关键是作好辅助线：连接OD，作OF⊥CD于点F．这也是此题的突破点，此题有一定的拔高难度，属于中档题．