Question

如图，AB∥CD．
（1）如果∠BAE=∠DCE=45°，求∠E的度数．请将下面解题过程补充完整．
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+∠DCA=180°（

 

）
∴∠EAC+∠BAE+∠ACE+∠DCE=180°∵∠BAE=∠DCE=45°（已知）
∴∠EAC+

 

+∠ACE+

 

=180°（

 

）
∴∠EAC+∠ACE=

 

∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（

 

）
∴∠E=180°-（

 

）=

 

（2）如果AE、CE分别是∠BAC、∠DCA的平分线，（1）中的结论还成立吗？试说明理由．
（3）如果AE、CE分别是∠BAC、∠DCA内部的任意射线．求证：∠AEC=∠BAE+∠DCE．

Answer 1

分析：（1）我们可以倒推，根据三角形的内角和等于180度?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE），根据两直线平行，同旁内角互补的性质?∠EAC+∠ACE=180°-（∠BAE+∠DCE），由此可知∠E=90°；
（2）如果AE、CE分别是∠BAC、∠DCA的平分线，根据两直线平行，同旁内角互补的性质?∠EAC+∠ACE=90°，根据三角形的内角和等于180度，?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）=90°；
（3）根据三角形的内角和等于180度?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE），根据两直线平行，同旁内角互补的性质?∠BAE+∠DCE
=180°-（∠EAC+∠AEC）?∠E=∠BAE+∠DCE

解答：解：（1）两直线平行，同旁内角互补；45°；45°；等量代换；90°；
三角形的内角和等于180°；∠EAC+∠ACE；90°．

（2）∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+∠DCA=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）
∴AE、CE分别是∠BAC、∠DCA的平分线（已知）
∴∠EAC+∠ACE=

1

2

∠BAC+

1

2

∠DCA=90°（角平分线的性质）
∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（ 三角形的内角和等于180°）
∴∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）=90°

（3）∵AB∥CD（已知）
∴∠BAE+∠DCE=180°-（∠EAC+∠AEC）（ 两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（ 三角形的内角和等于180°）
∴∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）
∴∠E=∠BAE+∠DCE（等量代换）

点评：本题重点考查两直线平行，同旁内角互补，等量代换，三角形内角和定理等性质的综合应用，在求证过程中注意于等量之间的代换、准确地识别图形．