Question

关于x的方程mx²-x+m²+1=0只有一个实数根，则函数y=x²-（3m+4）x+m-1的图象与坐标轴的交点个数有________．

Answer 1

3个
分析：（1）当m=0时，求出b²-4ac＞0，得到此函数与x轴有两个交点，求出y轴的交点；
（2）当m≠0时，根据根的判别式求出b²-4ac=0，推出m＞0，函数y=x²-（3m+4）x+m-1，①先由△的符号判定与x轴的交点数△=9m²+20m+20＞0，得到此函数与x轴有两个交点，②再求函数与y轴的交点即可．
解答：（1）当m=0时，
函数为：y=x²-4x-1，
b²-4ac=（-4）²-4×1×（-1）=20＞0，
∴此函数与x轴有两个交点，
与Y轴的交点是（0，-1），
∴与坐标轴的交点个数有3个；
（2）当m≠0时，
∵关于x的方程mx²-x+m²+1=0只有一个实数根，
∴b²-4ac=（-1）²-4m（m²+1）=1-4m（m²+1）=0，
即4m（m²+1）=1＞0，
由于m²+1＞0，
∴m＞0，
对于函数y=x²-（3m+4）x+m-1，
①先由△的符号判定与x轴的交点数，
△=（3m+4）²-4（m-1）=9m²+20m+20＞0，
∴此函数与x轴有两个交点，
②再求该函数与y轴的交点，
令x=0得y=m-1，
∴与y轴的交点为（0，m-1），
将m=1代入等式4m（m²+1）=1验证显然不成立，
故m-1≠0，
即（0，m-1）不在x轴上，
综上所述，该函数与x轴两个交点，与y轴一个交点，即与坐标轴总共是3个交点．
故答案为：3个．
点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．