Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A的平分线交CD的中点于点O．
①OA⊥OB吗？说明理由；
②AD+BC与AB有什么关系？说明理由．

Answer 1

解：①OA⊥OB．
理由是：延长AO交BC的延长线于E，
∵AO平分∠DAB，
∴∠DAO=∠BAO，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠E，
∴∠E=∠BAO，
∴AB=BE，
在△ADO和△ECO中，
∠DAO=∠E，∠AOD=∠COE，DO=CO，
∴△ADO≌△ECO，
∴AO=OE，
∵AB=BE，
∴OA⊥OB．

②AD+BC与AB的关系是AD+BC=AB．
理由是：∵△ADO≌△ECO，
∴AD=CE，
∵AB=BE=BC+CE=BC+AD，
即AD+BC=AB．
分析：①延长AO交BC的延长线于E，根据平行线的性质和角平分线性质推出∠E=∠BAO，得到AB=BE，证△ADO≌△ECO，推出AO=OE，根据等腰三角形性质推出即可；
②由①知△ADO≌△ECO，推出AD=CE即可．
点评：本题主要考查对梯形，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．