Question

若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为系数且为常数）的两个根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．这个定理叫做韦达定理．
如：x₁，x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，则x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1
已知：M、N是方程x²-x-1=0的两根，
记S₁=M+N；S₂=M²+N²，…S_n=M^m+Nⁿ

(1)S1=_____，S2=______，S3=_______，S4=_______，(直接写出答案) (2)当n为不小于3的整数时，有(1)猜想Sn、Sn-1、Sn-2之间有何关系？ (3)利用(2)猜想[ 1+ 5 2 ]8+[ 1- 5 2 ]8

．

Answer 1

分析：（1）根据韦达定理得到M+N=1，MN=-1，即可得到S₁=1，然后利用完全平方公式、立方和公式分别计算出S₂，S₃，S₄；
（2）观察（1）的计算结果可得到S_n=S_n-1+S_n-2；
（3）由于方程x²-x-1=0的两根为x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，则原式=S₈，然后利用（2）中的规律可计算出S₅=11，S₆=18，S₇=29，S₈=47，从而得到原式的值．

解答：解：（1）∵M+N=1，MN=-1，
∴S₁=1，S₂=（M+N）²-2MN=1²-2×（-1）=3，S₃=（M+N）（M²-MN+N²）=1×（3+1）=4，S₄=（M²+N²）²-2M²N²=3²-2×（-1）²=7；

（2）S_n=S_n-1+S_n-2；

（3）∵方程x²-x-1=0的两根为x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，
∴原式=S₈，
∵S₅=S₃+S₄=11，S₆=S₄+S₅=18，S₇=S₄+S₅=29，S₈=S₇+S₆=47，
∴原式=47．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．