Question

如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD相交于点F，AG⊥CD，垂足为G．求证：
（1）△ACE≌△CBD；
（2）AF=2FG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）由等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°可以推知：AC=CB，∠ACE=∠CBD=60°，然后结合已知条件，利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）欲证AF=2FG，因为AG⊥CD，△AGF为直角三角形，根据三角函数证明∠GAF=30°或∠AFD=60即可，需要证明△ADF∽△ABE，通过证明△ABE≌△CAD可以得出．

解答：证明：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠ACE=∠CBD=60°．
在△ACE与△CBD中，

AC=CB ∠ACE=∠CBD CE=BD

，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）由（1）知，△ACE≌△CBD，
∴∠AEC=∠CDB，
∴∠AEB=∠CDA，又∠EAD为公共角，
∴△ADF∽△ABE．
∴∠AFD=∠B=60°．
∵AG垂直CD，即∠AGF=90°，
∴∠GAF=30°，
∴AF=2FG（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．

点评：此题主要考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质及有30°角的直角三角形的性质等知识；难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神，证明线段是2倍关系的问题往往要用到有30°角的直角三角形的性质求解，要熟练掌握．