如图.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形.∠BAC=∠EDF=90°.△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转.旋转过程中.线段DE与线段AB相交于点P.线段EF与射线CA相交于点Q．(1)如图①.当点Q在线段AC上.且AP=AQ时.求证:△BPE≌△CQE,(2)如图②.当点Q在线段CA的延长线上时.求证:△BPE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=

时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．

【答案】分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；
（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．
解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵

，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解：连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴

，
∵BP=a，CQ=

a，BE=CE，
∴

，
∴BE=CE=

a，
∴BC=3

a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ-AC=

a，PA=AB-BP=2a，
在Rt△APQ中，PQ=

a．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．

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