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设n为正整数，且64ⁿ-7ⁿ能被57整除，证明：8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．

证明：∵64ⁿ-7ⁿ能被57整除，
∴64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ=57（8m+7ⁿ），
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．
分析：由于64ⁿ-7ⁿ能被57整除，则可设64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，根据幂的乘方得到和提公因数得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ=57（8m+7ⁿ），于是可得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．
点评：本题考查了因式分解的应用：运用因式分解的方法可简化运算．

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科目：初中数学 来源： 题型：

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果n-

≤x＜n+

则＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞=

（π为圆周率）；
②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为

；
（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；
②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（3）求满足＜x＞=

x的所有非负实数x的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数y=x2-x+

的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜

＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

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科目：初中数学 来源： 题型：

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为

即：当n为非负整数时，如果

如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…

试解决下列问题：

（1）填空：①= （为圆周率）；

②如果的取值范围为；

（2）①当；

②举例说明不恒成立；

（3）求满足的值；

（4）设n为常数，且为正整数，函数范围内取值时，函数值y为整数的个数记为的个数记为b.

求证：

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科目：初中数学 来源： 题型：

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为

即：当n为非负整数时，如果

如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①

= （

为圆周率）；
②如果

的取值范围为；
（2）①当

；
②举例说明

不恒成立；
（3）求满足

的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数

范围内取值时，函数值y为整数的个数记为

的个数记为b.
求证：

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科目：初中数学 来源：2010年高级中等学校招生全国统一考试数学卷（河北） 题型：解答题

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为
即：当n为非负整数时，如果
如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①= （为圆周率）；
②如果的取值范围为；
（2）①当；
②举例说明不恒成立；
（3）求满足的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数范围内取值时，函数值y为整数的个数记为的个数记为b.
求证：