Question

如图所示，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E．求证：∠E＝∠A．

Answer 1

答案：
解析：

证明1：因为∠ACD＝∠A＋∠ABC，CE平分∠ACD，所以∠ECD＝(∠A＋∠ABC)，又因为∠ECD＝∠E＋∠EBC，所以∠E＋∠EBC＝(∠A＋∠ABC)．因为BE平分∠ABC，所以∠EBC＝∠ABC，所以∠E＝∠A． 　　证明2：因为∠E＝－(∠EBC＋∠ACB＋∠ACE)，又因为∠ACD＝∠A＋∠ABC，CE平分∠ACD，所以∠ACE＝(∠A＋∠ABC)，所以∠E＝－(∠ABC＋∠ACB＋∠A)．因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝，所以∠E＝－(－∠A)＝∠A． 　　证明3：如图所示，作∠BAC的平分线交BE于点M，设BE交AC于点N． 因为CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠ACD． 　　又因为∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，所以∠ACE＝(∠BAC＋∠ABC)．因为AM平分∠BAC，BE平分∠ABC，所以∠ABM＝∠ABC，∠BAM＝∠BAC，所以∠ACE＝∠ABM＋∠BAM．因为∠AME＝∠ABM＋∠BAM，所以∠ACE＝∠AME．因为∠ANM＝∠ENC，所以－(∠ACE＋∠ENC)＝－(∠AME＋∠ANM)，所以∠E＝∠MAN＝∠BAC，即∠E＝∠A． 　　证明4：如图所示，作CP平分∠ACB，交BE于点P． 因为∠EPC＝∠PBC＋∠PCB，又因为BP，CP是角平分线，所以∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，所以∠EPC＝(∠ABC＋∠ACB)．又因为CE，CP是角平分线，所以∠PCE＝∠PCA＋∠ACE＝(∠BCA＋∠ACD)＝×＝，所以∠EPC＋∠E＝，所以(∠ABC＋∠ACB)＋∠E＝．因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝，所以(－∠A)＋∠E＝，所以∠E＝∠A． 　　证明5：如图所示，过点E作∠CEF＝∠CEB，设BE交AC于点M． 因为CE平分∠MEF，∠MCF，所以∠MCE＝∠FCE，∠MEC＝∠FEC，所以∠EMC＝∠EFC，所以∠BMC＝∠EFD(等角的补角相等)．又因为∠ABM＋∠A＝∠BMC，∠EBC＝∠BEF＝∠EFD，所以∠ABM＋∠A＝∠EBC＋∠BEF，所以∠A＝∠BEF，所以∠A＝2∠MEC，即∠E＝∠A． 　　解题指导：充分利用题目中所给条件，由BE平分∠ABC、CE平分∠ACD可知，∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ACE＝∠ECD＝∠ACD，再由三角形外角的性质易推出结论．