Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．直线y=-$\frac{1}{3}$x+1过点B且与y轴交于点D，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，
（1）求抛物线对应的方程；
（2）求α-β的值．

Answer 1

分析 （1）易得点C坐标，根据OB=OC=3OA可得点A，B坐标，代入二次函数解析式即可．
（2）可求得E，D坐标，得到△BCE的形状，进而可把∠CBE转移为∠DBO，求解．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx-3与y轴交于点C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代入y=ax²+bx-3，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2x-3．

（2）由y=-$\frac{1}{3}$x+1，得D（0，1）
由y=x²-2x-3得到顶点E（1，-4），
∴BC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{5}$，
∵BC²+CE²=BE²，
∴△BCE为直角三角形．
∴tanβ=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{1}{3}$．
又∵Rt△DOB中，tan∠DBO=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{3}$．
∴∠DBO=∠β，
∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°．

点评 此题考查了二次函数的综合题，关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的逆定理、三角函数等重要知识．综合性较强，难度中等．