Question

如图，抛物线y=ax²+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点，∠ABO=∠OAC，OB：BC=1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一动点，设点P的横坐标为t，△ACP的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，当点P在AC下方时，作点P关于直线AC的对称点P′，连接PP′与x轴交于点M，交AC于点N，当t为何值时，△BMP′∽△ABC．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先由已知条件求出A点的坐标，进而求出B，C点的坐标，把B，C的坐标分别代入y=ax²+bx+4中求出a和b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①过点P作PE∥y轴，交AC于点E，②过点P作PF∥y轴，交AC于点F，再根据S_△PAC=S_△PAE+S_△PEC和S_△PAC=S_△PAE-S_△PEC计算即可；
（3）连接PG，因为点P′与点P关于直线AC对称，所以∠P′=∠GPP′，PP′⊥AC，进而证明△CGK∽△CAO，利用相似三角形的性质即可求出OK=OC-CK=8-

18

5

=

22

5

，即t的值，问题得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4与y轴交于A点，
∴A（0，4），OA=4，
∵∠ABO=∠OAC，∠AOB=∠AOC，
∴△AOB∽△COA，
∴

AO

OC

=

OB

OA

，
∴OA²=OB•OC，
∵OB：BC=1：3，
∴OB=2，OC=8，
∴B（2，0），C（8，0），
把B（2，0），C（8，0）代入y=ax²+bx+4中得a=

1

4

，b=-

5

2

，
∴y=

1

4

x²-

5

2

x+4；
（2）①过点P作PE∥y轴，交AC于点E，
∵A（0，4），C（8，0）
∴AC的解析式为y=-

1

2

x+4，
∴P（t，

1

4

t²-

5

2

t+4），E（t，-

1

2

t+4）
PE=-

1

2

t+4-（

1

4

t²-

5

2

t+4）=-

1

4

t²+2t+4，
∴S_△PAC=S_△PAE+S_△PEC=

1

2

PE•OC=-t²+8t  （0＜t＜8），

②过点P作PF∥y轴，交AC于点F，
∴P（t，

1

4

t²-

5

2

t+4），F（t，-

1

2

t+4），
PF=

1

4

t²-

5

2

t+4-（-

1

2

t+4）=

1

4

t²+2t+4，
∴S_△PAC=S_△PAE-S_△PEC=

1

2

PF•OC=t²-8t（t＞8）；

（3）∵△BMP′∽△ABC，
∴∠P′=∠ACB，∠P′BC=∠BAC
∵∠BCA=∠BCA，∠GBC=∠BAC，
∴△BCA∽△GCB，
∴

BC

CG

=

AC

BC

，
∴BC²=AC•CG，
∵BC=6，AC=4

5

，
∴CG=

9

5

5

，
连接PG，∵点P′与点P关于直线AC对称，
∴∠P′=∠GPP′，PP′⊥AC，
∵∠P′=∠ACB，
∴∠GPP′=∠ACB，∠BMP=∠NMC
∴∠MKP=∠MNC=90°，
∴GK∥OA，
∴△CGK∽△CAO，
∴

CG

AC

=

CK

CO

，
即

9 5 5

4 5

=

CK

8

，
∴CK=

18

5

，
∴OK=OC-CK=8-

18

5

=

22

5

，
∴t=

22

5

，
∴当t=

22

5

时△BMP′∽△ABC．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，是一道难度较大的二次函数题目，其中三角形相似的性质和判定也是重点考查内容，解题的难点在于需注意分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况．