Question

如图，已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC边上的中线，连接DE．求证：DE=2AM．

Answer 1

证明：延长AM到F，使MF=AM，连接BF，CF（如图）

∵BM=CM，AM=FM，
∴四边形ABFC为平行四边形．
∴FB=AC=AE，∠BAC+∠ABF=180°
又∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠DAE=∠ABF，
又∵AD=AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE=AF=2AM．
分析：延长AM到F，使MF=AM，连接BF，CF（如图），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到ABFC为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到FB=AC=AE，∠BAC+∠ABF=180°，再由已知的∠BAD=∠CAE=90°得到∠BAC+∠DAE=180°，从而得到∠DAE=∠ABF，再由已知的等腰直角三角形ABD得到AB=AD，利用SAS求证△DAE≌△ABF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．
点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是延长AM到F，使MF=AM，连接BF，求证两次三角形全等，即可证明DE=2AM．