Question

19．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者．
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．

解答 解：（1）BC所在直线与小圆相切．
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直线是小圆的切线．

（2）AC+AD=BC．
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．

（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC-AC=4cm，
∵圆环的面积为：S=π（OD）²-π（OA）²=π（OD²-OA²），
又∵OD²-OA²=AD²，
∴S=4²π=16π（cm²）．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，①已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，②所证切线与圆的交点不明确，可以过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．