Question

3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F为BE的中点．
（1）如图1，当边AD与边AB重合时，连接DF，求证：DF⊥CF；
（2）若∠BAE=135°，如图2，求CF²的值；
（3）将△ADE绕点A旋转一周，直接写出点F运动路径的长．

Answer 1

分析 （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（2）先证明△DEF≌△MBF，得到DE=MB，DF=FM，再判断出△DCM是等腰直角三角形，由勾股定理计算即可；
（3）先由（1）知，AE=$\sqrt{2}$，点F运动路径是以点AB的中点为圆心，$\frac{1}{2}$AE为半径的圆的周长．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF．
（2）证明：如图1，

由（1）有，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∵∠BAE=135°，
∴∠ACB=∠EAC=90°，∠DAC=45°，AD=DE，AC=BC，∠AED=∠ABC=45°，
∴AE∥BC，
∴∠AEF=∠FBC，
∴∠DEF=∠BFM，
∵F为BE中点，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△MBF．
∴DE=MB=AD，
∵AC=BC，∠DAC=∠MBC=45°，
∴△ADC≌△BMC，
∴DC=MC．∠DCA=∠MCB
∵∠ACB=90°，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴CF是△DCM是等腰直角三角形斜边中线，
∵AC=2，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=2$\sqrt{2}$，
∵AD=1，
∴ED=MB=1，
∴AM=2$\sqrt{2}$-1，在Rt△MAD中，由勾股定理，得DM²=AD²+AM²=10-4$\sqrt{2}$，
∴CF²=（$\frac{1}{2}$DM）²=$\frac{1}{4}$DM²=$\frac{5}{2}-\sqrt{2}$；
（3）点F是以AB的中点为圆心，$\frac{1}{2}$AE为半径的圆的周长，
由（1）知，AE=$\sqrt{2}$，
∴点F运动路径的长=2π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$π．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的全等，勾股定理，圆的面积，用勾股定理依次计算线段的长是解本题的关键，也是难点．