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3.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,AC=2,AD=1,F为BE的中点.
(1)如图1,当边AD与边AB重合时,连接DF,求证:DF⊥CF;
(2)若∠BAE=135°,如图2,求CF2的值;
(3)将△ADE绕点A旋转一周,直接写出点F运动路径的长.

分析 (1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF,根据∠DFE=2∠DCF,∠BFE=2∠BCF,得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°,DF⊥BF;
(2)先证明△DEF≌△MBF,得到DE=MB,DF=FM,再判断出△DCM是等腰直角三角形,由勾股定理计算即可;
(3)先由(1)知,AE=$\sqrt{2}$,点F运动路径是以点AB的中点为圆心,$\frac{1}{2}$AE为半径的圆的周长.

解答 解:(1)∵∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点
∴DF=$\frac{1}{2}$BE,CF=$\frac{1}{2}$BE,
∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°
∵BF=DF,
∴∠DBF=∠BDF,
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF,
∴∠DFE=2∠DBF,
同理得:∠CFE=2∠CBF,
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,
∴DF⊥CF.
(2)证明:如图1,

由(1)有,△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∵∠ADE=∠ACB=90°,
∵∠BAE=135°,
∴∠ACB=∠EAC=90°,∠DAC=45°,AD=DE,AC=BC,∠AED=∠ABC=45°,
∴AE∥BC,
∴∠AEF=∠FBC,
∴∠DEF=∠BFM,
∵F为BE中点,
∴EF=BF.
∴△DEF≌△MBF.
∴DE=MB=AD,
∵AC=BC,∠DAC=∠MBC=45°,
∴△ADC≌△BMC,
∴DC=MC.∠DCA=∠MCB
∵∠ACB=90°,
∴△DCM是等腰直角三角形,
∴CF是△DCM是等腰直角三角形斜边中线,
∵AC=2,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=2$\sqrt{2}$,
∵AD=1,
∴ED=MB=1,
∴AM=2$\sqrt{2}$-1,在Rt△MAD中,由勾股定理,得DM2=AD2+AM2=10-4$\sqrt{2}$,
∴CF2=($\frac{1}{2}$DM)2=$\frac{1}{4}$DM2=$\frac{5}{2}-\sqrt{2}$;
(3)点F是以AB的中点为圆心,$\frac{1}{2}$AE为半径的圆的周长,
由(1)知,AE=$\sqrt{2}$,
∴点F运动路径的长=2π×($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\sqrt{2}$π.

点评 此题是几何变换综合题,主要考查了等腰直角三角形的性质,三角形的全等,勾股定理,圆的面积,用勾股定理依次计算线段的长是解本题的关键,也是难点.

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