Question

如图1，在△ABC，∠A=45°，延长CB至D，使得BD=BC．
（1）若∠ACB=90°，求证：BD=AC；
（2）如图2，分别过点D和点C作AB所在直线的垂线，垂足分别为E、F，求证：DE=CF；
（3）如图3，若将（1）中“∠ACB=90°”改为“∠ACB=m°，并在AB延长线上取点G，使得∠1=∠A”．试探究线段AC、DG的数量与位置关系．

Answer 1

（1）证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵BD=BC，
∴BD=AC；

（2）证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠E=∠CFB=90°，
∵∠DBE=∠CBF，BD=BC，
∴△DBE≌△CBF（AAS），
∴DE=CF；

（3）解：DG=AC，DG⊥AC．
证明：过点C作CE∥DG交AB于点E，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠4，
∵∠1=∠A，
∴∠4=∠A，
∴AC=CE，
∵BD=BC，∠EBC=∠GBD，∠2=∠3，
∴△DBG≌△CBE（AAS），
∴CE=DG，
∴DG=AC．
∵∠A=45°，
∴∠4+∠A=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE，
∴AC⊥DG．
∴DG=AC，DG⊥AC．
分析：（1）由∠A=45°，∠ACB=90°，即可求得∠A=∠ABC，由等角对等边，即可求得AC=BC，则可得AC=BD；
（2）由DE⊥AB，CF⊥AB，易得∠E=∠CFB=90°，又由对顶角相等，BC=BD，根据AAS，即可证得△DBE≌△CBF，则可证得DE=CF；
（3）作辅助线：过点C作CE∥DG交AB于点E，则易证△DBG≌△CBE，又由等角对等边易证DG=AC，又由∠A=45°，易证得∠ACE=90°，则可得AC⊥DG．
点评：此题考查了等角对等边的性质与全等三角形的判定与性质．此题图形变化很多，但难度不大，注意数形结合思想的应用．