Question

已知：如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点，CE=CA，F是AE的中点．
求证：BF⊥FD．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接BD交AC于O，连接FO，根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，推出OF是三角形AEC的中位线，得出2FO=EC=AC=BD，根据直角三角形的判定推出直角即可．

解答：证明：连接DB，交AC于点O，连接OF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，
∵F为AE中点，
∴FO=

1

2

CE，
∵CE=CA，
∴FO=

1

2

AC=

1

2

BD，
即FO=OB=OD，
∴∠DFB=90°，
即BF⊥DF．

点评：本题考查了矩形性质，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理等知识点的运用．注意灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解此题的关键．