Question

4．已知：ABCD为平行四边形，∠1=∠2，AB：AD=k，求BF：DE=？

Answer 1

分析 延长AG交CD于H，AC交BE于Q交DF于O，延长DF交AB的延长线于M．设CF=a，AD=na，由△DAH∽△DCA，得$\frac{DH}{AD}$=$\frac{DA}{DC}$=$\frac{1}{k}$，求出DH=$\frac{na}{k}$，由AD∥CF，DC∥AM，推出△COF∽△AOD，△DOC∽△MOA，推出$\frac{AD}{CF}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{AM}{CD}$=n，得到AM=kn²a，BM=kna（n-1），由$\frac{DE}{BM}$=$\frac{DG}{GM}$=$\frac{DH}{AM}$，求出DE即可解决问题．

解答 解：延长AG交CD于H，AC交BE于Q交DF于O，延长DF交AB的延长线于M．设CF=a，AD=na，
∵AB=kAD，
∴AB=kna，BF=（n-1）a，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3=∠2，
∵∠ADH=∠ADC，
∴△DAH∽△DCA，
∴$\frac{DH}{AD}$=$\frac{DA}{DC}$=$\frac{1}{k}$，
∴DH=$\frac{na}{k}$，
∵AD∥CF，DC∥AM，
∴△COF∽△AOD，△DOC∽△MOA，
∴$\frac{AD}{CF}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{AM}{CD}$=n，
∴AM=kn²a，BM=kna（n-1），
∵$\frac{DE}{BM}$=$\frac{DG}{GM}$=$\frac{DH}{AM}$，
∴$\frac{DE}{kna（n-1）}$=$\frac{na}{{k}^{2}{n}^{2}a}$，
∴DE=$\frac{（n-1）a}{k}$，
∴$\frac{BF}{DE}$=$\frac{（n-1）a}{\frac{（n-1）a}{k}}$=k．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目比较难．