Question

17．已知△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4，以AD为直径作圆O，交AB边于点G，交AC边于点F．如果点F恰好是$\widehat{AD}$的中点．
（1）求CD的长度；
（2）当BD=3时，求BG的长度．

Answer 1

分析 （1）由点F恰好是$\widehat{AD}$的中点．可得出FO⊥AD，结合AD⊥BC，可得出OF∥CD，进而可得出$\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AD}=\frac{1}{2}$．结合AD的长度即可求出CD的长度；
（2）过点O作OH⊥AG，垂足为H，则△OAH∽△BAD，在Rt△ABD中可求出AB的长度，由垂径定理可得出AG=2AH，再根据相似三角形的性质可求出AH的长度，进而可得出AG、BG的长度，此题得解．

解答 解：（1）∵点F是$\widehat{AD}$的中点，OF是半径，
∴OF⊥AD．
∵AD⊥BC，
∴OF∥CD，
∴$\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AD}=\frac{1}{2}$．
∵OF=OA，AD=4，
∴CD=4．

（2）过点O作OH⊥AG，垂足为H，如图所示．
∵在⊙O中，OH⊥AG，
∴AG=2AH．
∵∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AB²．
∵BD=3，AD=4，
∴AB=5．
∵∠OAH=∠BAD，∠ADB=∠AHO，
∴△OAH∽△BAD，
∴$\frac{AH}{AO}=\frac{AD}{AB}$，
∴AH=$\frac{8}{5}$，AG=$\frac{16}{5}$，BG=AB-AG=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及垂径定理，解题的关键是：（1）根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”找出OF∥CD；（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理求出AH、AB的长度．