Question

如图1，在△ABC中，点D为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、D在直线a的异侧，BE⊥直线a于点E，CF⊥直线a于点F，连接DE、DF．

（1）延长ED交CF于点G（如图2）．①求证：△BDE≌△CDG；②DE=DF；
（2）若直线a绕点A旋转到（图3）的位置时，点B、D在直线a的同侧，其它条件不变，此时DE=DF成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①由BE⊥直线a于点E，CF⊥直线a就可以得出BE∥CF，就可以得出∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC，就可以由得出AAS得出△BDE≌△CDG；
②由△BDE≌△CDG就可以得出DE=DG，由直角三角形的性质就可以得出结论；
（2）延长ED交FC的延长线于点G，根据条件可以得出证明△BDE≌△CDG就可以得出ED=DG，由直角三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）①∵BE⊥直线a，CF⊥直线a，
∴BE∥CF，
∴∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC．
∵点D为BC边中点，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，

∠EBD=∠GCD ∠DEB=∠DGC BD=CD

，
∴△BDE≌△CDG（AAS）；
②∵△BDE≌△CDG，
∴ED=GD．
∵CF⊥直线a，
∴∠CFE=90°，
∴DF=

1

2

EG．
∴DE=DF；
（2）DE=DF成立
理由：延长ED交FC的延长线于点G，
①∵BE⊥直线a，CF⊥直线a，
∴BE∥CF，
∴∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC．
∵点D为BC边中点，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，

∠EBD=∠GCD ∠DEB=∠DGC BD=CD

，
∴△BDE≌△CDG（AAS）；
∴ED=GD．
∵CF⊥直线a，
∴∠CFE=90°，
∴DF=

1

2

EG．
∴DE=DF．

点评：本题考查了直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，全都三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．