Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．

（1）求c的值，并用含a的式子表示b；

（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；

（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b＝2a﹣3；（2）≤a＜0或0＜a≤；（3）0＜a＜4或．

【解析】

（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；

（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，即可求解；

（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．

解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得

c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．

∴b＝2a﹣3；

（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2，

解得≤a＜0．

当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，

解得 0＜a≤．

∴a的取值范围是≤a＜0或0＜a≤；

（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，

故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．

∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．

①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），

y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，

则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，

∴a+2a﹣3﹣4＜5．

解得a＜4．

∴0＜a＜4；

②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，

则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），

∴．

即．

解得（舍去）或．

综上，a的取值范围是0＜a＜4或．