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精英家教网如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是(  )
A、3≤OM≤5B、4≤OM≤5C、3<OM<5D、4<OM<5
分析:由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短,当OM是半径时最长.根据垂径定理求最短长度.
解答:精英家教网解:如图,连接OA,作OM⊥AB于M,
∵⊙O的直径为10,
∴半径为5,
∴OM的最大值为5,
∵OM⊥AB与M,
∴AM=BM,
∵AB=6,
∴AM=3,
在Rt△AOM中,OM=
OA2-AM2
=
25-9
=
16
=4;
此时OM最短,
当OM是半径时最长,OM=5.
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5.
故选B.
点评:本题考查了垂径定理、勾股定理,解决本题的关键是确定OM的最小值,所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题,而解决与弦有关的问题时,往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形,若设圆的半径为r,弦长为a,这条弦的弦心距为d,则有等式r2=d2+(
a
2
2成立,知道这三个量中的任意两个,就可以求出另外一个.
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3
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3

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