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【题目】如图,ABC内接于⊙O,且ABAC,延长BC至点D,使CDCA,连接AD交⊙O与点E,连接BECE.

(1)求证:ABE≌△CDE

(2)填空:

①当∠ABC的度数为______时,四边形AOCE是菱形;

②若AEAB2,则DE的长为______

【答案】(1)见解析;(2)60°;②

【解析】

1)由ABACCD=CA得出AB=CD,再根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质可知,∠CED=∠AEB从而可证

2)①根据菱形的性质可知为等边三角形,进而可推出

②由可得进而可可,再利用相似三角形的性质可知,从而可求.

(1)证明:∵ABACCD=CA

∴∠ABC=∠ACBAB=CD

.∵四边形ABCE是圆内接四边形

∴∠CED=∠AEB.

(2)①当时,四边形AOCE是菱形

理由如下:连接AO,CO,OE,如下图

∵四边形AOCE是菱形

为等边三角形

②由可得

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【题目】如图,已知正方形DEFG的顶点D、EABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是_____

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【题目】如图,直线轴、轴分别相交于点BC,经过BC两点的抛物线轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线。点G是抛物线位于直线下方的任意一点,连接PBGBGCAC .

1)求该抛物线的解析式;

2)求GBC面积的最大值;

3)连接AC,在轴上是否存在一点Q,使得以点PBQ为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,与反比例函数y=的图象交于C、D两点,DEx轴于点E,已知C点的坐标是(﹣6,﹣1),DE=3.

(1)求反比例函数与一次函数的解析式.

(2)根据图象直接回答:当x为何值时,一次函数的值小于反比例函数的值.

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【题目】△ABC中,AB=AC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,连接AD,求∠ADB的度数.(不必解答)

(1)小聪先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时,利用轴对称知识,以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图2),然后利用α=90°,β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△D′BC的形状是   三角形;∠ADB的度数为   

(2)在原问题中,当∠DBC<∠ABC(如图1)时,请计算∠ADB的度数;

(3)在原问题中,过点A作直线AE⊥BD,交直线BDE,其他条件不变若BC=7,AD=2.请直接写出线段BE的长为   

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【题目】新华书店销售一个系列的儿童书刊,每套进价100元,定价为140元,一天可以销售20套.为了扩大销售,增加盈利,减少库存,书店决定采取降价措施.若一套书每降价0.5元,平均每天可多售出1.设每套书降价x元时,书店一天可获利润y.

1)求出yx的函数关系式;

2)该书店要获得最大利润,售价应定为每套多少元?

3)小静说:当某天的利润最大时,当天的销售额也最大.你认为对吗?请说明理由.

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【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长ADE,且有∠EBD=CAB.

(1)如图1,若BD=,AC=6

A.求证:BE为圆O的切线

B.DE的长

(2)如图2,连结CDAB于点F,BD=CF=3,求圆O的半径.

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【题目】已知关于x的一元二次方程(k1)x2+(2k+1)x+k0.

(1)依据k的取值讨论方程解的情况.

(2)若方程有一根为x=﹣2,求k的值及方程的另一根.

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