Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于A、C两点，点C坐标是（6，1），AB⊥x轴于点B，且AB=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OA，将AOB沿x轴正方向平移至边AO正好经过点C时停止，求△AOB的平移距离．

Answer 1

分析 （1）待定系数法把C点坐标代入反比例函数解析式计算即可得出反比例函数的解析式；然后把y=3代入求得的解析式即可求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据A的坐标求得直线OA的斜率，设出平移后的直线OA的解析式，把C的坐标代入利用待定系数法求得解析式，令y=0，即可求得△AOB的平移距离．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点C（6，1），
∴1=$\frac{m}{6}$，解得m=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，
∵AB⊥x轴于点B，且AB=3，
∴A的纵坐标为3，
把y=3代入y=$\frac{6}{x}$得，3=$\frac{6}{x}$，
∴x=2，
∴A（2，3），
∵一次函数y=kx+b图象经过A（2，3）、C（6，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（2）∵A（2，3），
∴直线OA的斜率为$\frac{3}{2}$，
设平移后OA的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+n，
∵AO正好经过点C，C（6，1），
∴1=$\frac{3}{2}$×6+n，解得n=-8，
∴解析式为y=$\frac{3}{2}$x-8，
令y=0，则x=$\frac{16}{3}$，
∴△AOB的平移距离为$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及平移的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．