Question

【题目】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，

（1）按如下步骤作图：（保留作图痕迹）

第一步，分别以点B、D为圆心，以大于BD的长为半径在BD两侧作弧，交于两点M、N；

第二步，连接MN分别交AB，BC于点E、F；

第三步，连接DE，DF．

（2）求证：四边形BEDF是菱形；

（3）若AD＝6，BF＝4，CD＝3，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8

【解析】

（1）根据题意作出图形即可；
（2）利用基本作图方法得出MN是线段BD的垂直平分线，进而得出DE∥BC，同理可得：DF∥BE，进而得出答案；
（3）利用菱形的性质得出BE=DE=DF=BF，再利用平行线分线段成比例定理得出答案．

（1）如右图所示；

（2）证明：∵根据（1）作法可知：MN是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，BF=DF
∴∠EBD=∠EDB
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠FBD
∴∠EDB=∠FBD
∴DE∥BC
同理得DF∥AB
∴四边形BEDF是平行四边形
又∵BE=DE
∴四边形BEDF是菱形；
（3）∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=DE=BF=DF=4，
∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD=6，BF=4，CD=3，
∴，
解得：AE=8．