Question

（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①?，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②?，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③?，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出

DE

CF

的值（用α的三角函数表示）．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,旋转的性质,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）如图1①，根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再根据旋转的性质得∠B′OC′=∠BOC=90°，然后利用等角的余角相等得∠B′OB′=∠COC′，则可根据“ASA”判断△BON≌△COM，于是得到CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，于是可判断△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
则AC=

2

AB，BC=

2

BO，所以BD=

2

AB；再根据旋转的性质得∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，则BC′=

2

BO′，所以

BD

BA

=

BC′

BO′

=

2

，再证明∠1=∠2，则可根据相似的判定定理得到△BDC′∽△BAO′，利用相似比即可得到DC′=

2

AO′；
（3）如图③，根据余弦的定义，在Rt△AEF中得到cos∠EAF=

AE

AF

；在Rt△DAC中得到cos∠DAC=

AD

AC

，由于∠EAF=∠DAC=α，所以

AE

AF

=

AD

AC

=cosα，∠EAD=∠FAC，则可根据相似的判定定理得到△AED∽△AFC，利用相似比即可得到

DE

CF

=cosα．

解答：解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠B′OC′=∠BOC=90°，
∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，
∴∠B′OB′=∠COC′，
在△BON和△COM中

∠OBN=∠OCM OB=OC ∠BON=∠COM

，
∴△BON≌△COM（ASA），
∴CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB，BC=

2

BO，
∴BD=

2

AB，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，
∴BC′=

2

BO′，
∴

BD

BA

=

BC′

BO′

=

2

，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC′∽△BAO′，
∴

DC′

AO′

=

BD

BA

=

2

，
∴DC′=

2

AO′；

（3）如图③，在Rt△AEF中，cos∠EAF=

AE

AF

；
在Rt△DAC中，cos∠DAC=

AD

AC

，
∵∠EAF=∠DAC=α，
∴

AE

AF

=

AD

AC

=cosα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，
∴△AED∽△AFC，
∴

DE

CF

=

AD

AC

=cosα．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形和正方形的性质；同时会运用等腰直角三角形的性质和旋转的性质；能灵活利用三角形全等或相似的判定与性质解决线段之间的关系．