分析 (1)由于已知点A、点D坐标,根据待定系数法即可求出抛物线解析式;
(2)根据抛物线解析式可求D(4,5).由于已知A(-1,0),D(4,5),根据待定系数法即可求得直线AD的解析式为:y=x+1,设P(t,0),可得Q(t,t+1),G(t,-t2+4t+5),根据两点间的坐标公式可得QG,再根据二次函数的最值问题即可求解;
(3)假设存在点P,使△OCM为等腰三角形,根据勾股定理,若能求出P点坐标,则P存在,同时可求出正方形PQMN 的边长;否则P不存在;
(4)由于重叠部分面积是不确定的,所以要根据其重叠程度,分情况讨论,得到不同的表达式.
解答 解:(1)如图,C点坐标为(0,5),则c=5.
代入点A(-1,0),B(5,0)到y=ax2+bx+5中,得方程组$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$,
解得a=-1,b=4.
故抛物线解析式为y=-x2+4x+5.
(2)当x=4时,y=-42+4×4+5=5,则D(4,5).
由A(-1,0),D(4,5)得直线AD的解析式为:y=x+1,
设P(t,0),则Q(t,t+1),G(t,-t2+4t+5),
∵点Q在线段AD上.
∴QG=-t2+3t+4=-(t-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{25}{4}$,
当t=$\frac{3}{2}$时,QG最长为$\frac{25}{4}$.
(3)∵直线AD的解析式为:y=x+1,且P(t,0).
∴Q(t,t+1),M(2t+1,t+1)
当MC=MO时,t+1=$\frac{5}{2}$,
∴边长为$\frac{5}{2}$.
当OC=OM时,(2t+1)2+(t+1)2=52,
解得t1=-$\frac{3}{5}$-$\frac{\sqrt{115}}{5}$(舍去),t2=-$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{115}}{5}$,
∴边长为t+1=$\frac{2}{5}$+$\frac{\sqrt{115}}{5}$.
当CO=CM时,(2t+1)2+(4-t)2=52,
解得t1=$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$,t2=$\frac{2-2\sqrt{11}}{5}$.
∴边长为t+1=$\frac{7+2\sqrt{11}}{5}$,或t+1=$\frac{7-2\sqrt{11}}{5}$.
(4)当-1<t≤$\frac{19}{11}$时,正方形的边长为(t+1),故其面积为:s=(t+1)2;
当$\frac{19}{11}$≤t≤2时:S=-$\frac{111}{10}$t2+$\frac{219}{5}$t-$\frac{351}{5}$;
当2≤t≤4时:S=-$\frac{11}{10}$t2+$\frac{19}{5}$t+$\frac{49}{10}$;
当4≤t≤5时:S=$\frac{5}{2}$t2-25t+$\frac{125}{2}$.
点评 本题考查了二次函数综合题,二次函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、三角形及正方形的性质、存在性问题等内容,综合性强,属于难题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $-\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | -3 | D. | 3 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 971斤 | B. | 129斤 | C. | 97.1斤 | D. | 29斤 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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