Question

如图，已知抛物线与轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M是抛物线上一点，以B、C，D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

Answer 1

解：（1）∵抛物线与轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为。   

根据题意，得，解得。

∴抛物线的解析式为。 

（2）存在。          

  由，得D点坐标为（1，4），对称轴为。

  ①若以CD为底边，则PD=PC，

  设P点坐标为，根据勾股定理，得

  ，

  即。                  

  又点P在抛物线上，

  ∴，即。     

  解得。

  ∵，应舍去，∴。     

  。

  即点P的坐标为。     

  ②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，

点P与点C关于直线对称，此时P点坐标为（2，3）。

  ∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。    

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得

        ，,。        

        ∴

        ∴∠BCD=90º，

        设对称轴交轴于点E，过C做CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F。

在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1，∴∠CDF=45º，

        由抛物线的对称性知，

        ∠CDM=2×45º=90º，点M坐标为（2，3）

        ∴DM∥BC。

        ∴四边形BCDM为直角梯形。

        由∠BCD=90º及题意可知，

        以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；

        以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。

        综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。