Question

已知正方形ABCD的边长为2，以BC边为直径作半圆O，P为DC上一动点（可与D重合但不与C重合），连接BP交半圆O于点E，过点O作直线l∥CE交AB（或AD）于点Q．
（1）如图1，求证：△OBQ∽△PEC；
（2）设DP=t（0≤t＜2），直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式；
（3）当点Q落在AD（不含端点）上时，问以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到∠BEC=90°，而正方形的内角也为直角，从而得到∠BEC=∠QBC，又根据两直线平行得同位角的相等以及同角的余角相等得到∠BOQ=∠BPC，根据两组对应角相等的两三角形相似，进而得证；
（2）根据时间t的范围分两种情况考虑：当0≤t≤1时，Q在AB上，直线l截正方形所得左侧部分图形为直角三角形，由两对对应角相等的两三角形相似得到△OBQ∽△PBC，得到比例式，求出QB的长，以及OB的长，求出三角形的面积即为所求的S；当1＜t＜2时，Q在AD上，此时S表示梯形ABOQ面积，过点Q作QM⊥BC，交BC于点M，利用“ASA”证明△QOM≌△BPC，得到OM=CP，表示出CP得到OM的长，再表示出AQ的长，根据梯形的面积公式即可求出S；
（3）利用反证法，方法是根据图形表示出三角形OPQ的三边，分别假设其中的两者相等，推出矛盾，假设错误，故以O、P、Q为顶点的三角形不可能是等腰三角形．

解答：解：（1）∵直径所对的圆周角为90°，
∴∠BEC=90°=∠QBC，
∵直线l∥CE交AB（或AD）于点Q．
∴∠BOQ=∠BCE，
又∠BCE+∠PCE=90°，∠PCE+∠BPC=90°，
∴∠BOQ=∠BPC，
∴△OBQ∽△PEC；

（2）当0≤t≤1时，Q在AB上，
∵∠OBQ=∠PCB=90°，
又∵∠PBC+∠QOB=90°，∠QOB+∠BQO=90°，
∴∠PBC=∠BQO，
∴△OBQ∽△PBC，
∴QB：BC=BO：PC，即QB：2=1：（2-t），
解得：QB=

2

2-t

，又OB=

1

2

BC=1，
则S=

1

2

OB•QB=

1

2-t

；
当1＜t＜2时，Q在AD上，此时S表示梯形ABOQ面积，
根据题意画出图形，如图所示：

过点Q作QM⊥BC，交BC于点M，
∵ABCD为正方形，
∴∠QMO=∠BCP=90°，AB=BC=QM，
又∠QOM+∠OQM=90°，∠QOM+∠PBC=90°，
∴∠OQM=∠PBC，
∴△QOM≌△BPC，
又DP=t，DC=2，得到：CP=2-t，
∴OM=PC=2-t，
∴AQ=1-（2-t）=t-1，
则S=

2(t-1+1)

2

=t；

（3）当Q在AD上（不含端点）上时，
连接PQ，由QM=2，OM=2-t，
根据勾股定理得：OQ²=4+（2-t）²=t²-4t+8，
又QD=2-（t-1）=3-t，DP=t，
根据勾股定理得：QP²=（3-t）²+t²=2t²-6t+9，
连接OP，由PC=2-t，OC=1，
根据勾股定理得：OP²=1²+（2-t）²=t²-4t+5，
显然OP≠OQ；
假设OP=PQ，即2t²-6t+9=t²-4t+5，
解得t=2，
P与C重合，不合题意，假设错误，故OP≠PQ，
若OQ=PQ，t²-4t+8=2t²-6t+9，
整理得：t²-2t+1=0，即（t-1）²=0，
解得：t=1，
不合题意，假设错误，故OQ≠PQ；
∴当Q落在AD（不含端点）上时，以O、P、Q为顶点的三角形不可能是等腰三角形．

点评：此题综合考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质以及勾股定理．学生作（2）时注意根据Q的位置分两种情况考虑，（3）采用的方法是反证法，注意反证法的步骤：先否定结论，根据推理得到与已知，定理及公理矛盾，得到假设错误，所以原命题正确．