Question

如图，AO是边长为2的等边△ABC的高，点D是AO上的一个动点（点D不与点A、O重合），以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连结BE并延长，交AC的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当△CEF为等腰三角形时：
①求∠ACD的度数；
②求△CEF的面积．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△CDE是等边三角形，用“SAS”证得△ACD≌△BCE；
（2）①由（1）得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒为直角三角形，且∠F=30°，CF=CB=2，又因为点D不与点A、O重合，可得当△CEF为等腰三角形时，∠F只能为顶角，继而求得答案；
②首先作CP⊥BF于点P，由∠CBE=30°，求得CP的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）①∵AO是边长为2的等边△ABC的高，
∴∠CAO=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴∠ABF=90°，
∴∠F=90°-∠BAF=30°，
∴CF=CB=2，
又∵点D不与点A、O重合，
∴当△CEF为等腰三角形时，∠F只能为顶角，
∴∠FCE=75°，
∴∠ACD=∠BCE=120°-75°=45°；

②作CP⊥BF于点P，由∠CBE=30°，
得CP=

1

2

BC=1，
又∵CF=EF=2，
∴S_△CEF=

1

2

×2×1=1．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．