Question

如图，二次函数y=-x²+ax+b的图象与x轴交于A(-

1

2

，0)、B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）直接写出不等式-x²+ax+b＞0的解集；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）∵二次函数y=-x²+ax+b的图象经过A(-

1

2

，0)、B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式．
（2）不等式-x²+ax+b＞0的解集，实际上就是y=-x²+ax+b＞0时x的取值范围，利用抛物线与x轴的交点和图象特征就可以求出．
（3）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．

解答：解：（1））∵二次函数y=-x²+ax+b的图象经过A(-

1

2

，0)、B（2，0）两点，由题意，得

0=- 1 4 - 1 2 a+b 0=-4+2a+b

，解得：

a= 3 2 b=1

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+

3

2

x+1．
∴C（0，1），
∴AC²=AO²+CO²=

5

4

，
CB²=BO²+CO²=5，
AB²=

25

4

，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ACB是直角三角形；

（2）由图象得原不等式的解集为：
-

1

2

＜x＜2

（3）存在，点P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+1；
设过点B且平行于AC的直线的解析式为y=-

1

2

x+h，
将点A（-

1

2

，0）代入得：（-

1

2

）×（-

1

2

）+h=0，h=-

1

4

；
∴y=-

1

2

x-

1

4

；
联立抛物线的解析式有：

y=- 1 2 x- 1 4 y=-x2+ 3 2 x+1

，
解得

x=- 1 2 y=0

，

x= 5 2 y=- 3 2

；
∴点P（

5

2

，-

3

2

）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得P（-

5

2

，-9）；
故当P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式的关系，直角梯形的运用．