Question

已知：关于x的方程（k-1）x²-2kx+k+2=0 有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是方程（k-1）x²-2kx+k+2=0的两个实数根（x₁≠x₂），且满足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析：（1）分为两种情况：当k-1=0时和当k-1≠0时，求出即可；
（2）根据已知得出（k-1）x₁²-2kx₁+k+2=0①，x₁+x₂=-

-2k

k-1

=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，推出x₂=

2k

k-1

-x₁，求出（k-1）x₁²-2kx₁+k+2+

4k2

k-1

=4•

k+2

k-1

②，把①代入②得出

4k2

k-1

=4•

k+2

k-1

，求出即可．

解答：解：（1）当k-1=0即k=1时，方程为-2x+3=0，
x=

3

2

，即方程有实数根；
当k-1≠0时，△=（-2k）²-4•（k-1）•（k+2）≥0时，方程有实数根，
即k≤2，
综合上述：k的取值范围是k≤2；

（2）∵x₁，x₂是方程（k-1）x²-2kx+k+2=0的两个实数根，
∴（k-1）x₁²-2kx₁+k+2=0①，
x₁+x₂=-

-2k

k-1

=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，
∴x₂=

2k

k-1

-x₁，
∵（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂，
∴（k-1）x₁²+2k（

2k

k-1

-x₁）+k+2=4•

k+2

k-1

∴（k-1）x₁²+

4k2

k-1

-2kx₁+k+2=4•

k+2

k-1

即：（k-1）x₁²-2kx₁+k+2+

4k2

k-1

=4•

k+2

k-1

②，
把①代入②得：

4k2

k-1

=4•

k+2

k-1

k²-k-2=0，
k=2，k=-1，
当k=2时，△=0，即方程有两个相等的实数根，
∵x₁≠x₂，
∴k=2舍去，
即k=-1．

点评：本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，根与系数的关系等知识点的应用，题目比较好，但有一定的难度．