Question

3．由示意图可见，抛物线y=x²+px+q若有两点A（a，y_l）、B（b，y₂）（其中a＜b）在x轴下方，则抛物线必与x轴有两个交点C（x₁，O）、D（x₂，O）（其中x_l＜x₂），且满足x_l＜a＜b＜x₂．当A（1，-2005），且x_l、x₂均为整数时，求二次函数的表达式．

Answer 1

分析 因为抛物线与x轴有两个交点C（x₁，O）、D（x₂，O）（其中x_l＜x₂），所以可设抛物线解析式为y=（x-x₁）（x-x₂），再把A点（1，-2005）代入函数的解析式可整理得：-2005=（1-x₁）（1-x₂），又因为x_l、x₂均为整数，所以可求出满足题意的x_l、x₂的值，进而可求出二次函数的表达式．

解答 解：
∵抛物线与x轴有两个交点C（x₁，O）、D（x₂，O）（其中x_l＜x₂），
∴可设抛物线解析式为y=（x-x₁）（x-x₂），
把A（1，-2005）代入y=（x-x₁）（x-x₂），得-2005=（1-x₁）（1-x₂）．
由x_l、x₂为整数，且2005=5×401得$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=-2005}\\{1-{x_2}=1}\end{array}}\right.$；$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=1}\\{1-{x_2}=-2005}\end{array}}\right.$；$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=401}\\{1-{x_2}=-5}\end{array}}\right.$；$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=5}\\{1-{x_2}=-401}\end{array}}\right.$
分别解得：x₁=-2004，x₂=2，则y=x²+2002x-4008；x₁=0，x₂=2006，则y=x²+2006x；
x₁=-400，x₂=6，则y=x²+394x-2004；x₁=-4，x₂=402，则y=x²+398x-1608．
经检验，所求的抛物线有以下4条：
y=x²+2002x-4008；y=x²+2006x；y=x²+394x-2004；y=x²+398x-1608．

点评 本题考查了二次函数综合性题目，熟知二次函数的三种表达形式分别是：一般式、交点式、顶点式是解题的关键，